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Modellierungskompetenzen beim mathematischen Problemlösen

  • Mathematisches Modellieren bezeichnet die verschiedenen Prozesse, die Menschen durchlaufen, wenn sie versuchen, reale Probleme mathematisch zu lösen oder Textaufgaben zu bearbeiten. In der Literatur werden im sogenannten Modellierungszyklus fünf aufeinanderfolgende Teilprozesse genannt, die den Ablauf des Problemlöseprozesses beschreiben (Blum, 2003). Beim Strukturieren wird zunächst eine Problemsituation im kognitionspsychologischen Sinne verstanden, die wesentlichen Merkmale werden abstrahiert um dann im zweiten Schritt (Mathematisieren) in ein mathematisches Modell (bestehend aus Gleichungen, Symbolen, Operatoren, Ziffern etc.) übersetzt zu werden. Beim Verarbeiten dieses mathematischen Modells mithilfe mathematischen Wissens wird das Problem innermathematisch gelöst, woraufhin das Ergebnis im vierten Schritt (Interpretieren) rückübertragen wird auf die ursprüngliche Problemsituation. Die dort aufgeworfene Frage wird beim Interpretieren beantwortet. Der letzte Schritt (Validieren) sieht eine Überprüfung des gesamten Problemlöseprozesses vor: Kommt der Modellierer zu dem Schluss, dass sein Ergebnis eventuell nicht korrekt bzw. nicht optimal ist, wird der Modellierungszyklus von vorne durchlaufen. Der Modellierungszyklus dient dabei sowohl als deskriptives als auch als präskriptives (normatives) Modell, da er einerseits beschreibt, wie Modellieren abläuft und andererseits vorschreibt, wie Schüler z.B. beim Lösen von mathematischen Textaufgaben vorgehen sollen. Dennoch liegen für beide Zielsetzungen keine empirischen Studien vor, die belegen könnten, dass der Modellierungszyklus sich tatsächlich als deskriptives oder als präskriptives Modell eignet. In der vorliegenden Arbeit konnte die Eignung als deskriptives Modell nur mit Einschränkungen bestätigt werden. So zeigte sich z.B. in einer Voruntersuchung, dass das Stadium Validieren bei Schülern der Klassenstufe 4 nicht zu beobachten ist und dass der Ablauf der Stadien deutlich von der vorgegebenen Reihenfolge abweichen kann. Eine revidierte Version des Modellierungszyklus als rekursives Modell wird daher vorgeschlagen. In einer zweiten, größeren Untersuchung wurde die Eignung als normatives Modell untersucht, indem die vier Stadien Strukturieren, Mathematisieren, Verarbeiten und Interpretieren isoliert voneinander erfasst wurden, wofür zuvor eigens Items konstruiert worden waren. Die vier Unterskalen wurden an mehreren Kriterien - darunter die Fähigkeit zum Lösen kompletter Modellierungsaufgaben - validiert, was den normativen Charakter des Modells bestätigt. Um Modellierungskompetenz frühzeitig diagnostizieren und dementsprechend fördern zu können, ist die Entwicklung von Methoden angezeigt, die vier Teilkompetenzen Strukturieren, Mathematisieren, Verarbeiten und Interpretieren bereits im Grundschulalter unabhängig voneinander objektiv, reliabel und valide zu erfassen. Mit der Entwicklung und Analyse von Items zu den vier Teilbereichen wurde hierfür mit der vorliegenden Arbeit ebenfalls eine Grundlage geschaffen.
  • Mathematical modeling describes the processes being performed by people who try to solve real world problems mathematically or who try to solve mathematical word problems. The literature on mathematical modeling is based on the so-called modeling cycle (Blum, 2003), which consists of five substages, that describe the course of the problem-solving process. As a first step (Structuring), the problem situation is being understood by the modeler and the most crucial elements of the problem are identified. The modeler then translates those elements to a mathematical language (Mathematising), where they are now presented in the form of equations, numbers, operators and symbols, i.e. in the form of a mathematical model. In the third step (Solving), the model is used to come to a mathematical solution to the problem, which in the next step (Interpretation) is then re-translated into real-world information and gives an answer to the question that has been raised in the problem. The last step describes the Validation of the whole problem-solving process. If the modeler comes to the conclusion that his solution is wrong or not optimal, the modeling cycle starts from the beginning. The modeling cycle functions as a descriptive model of modeling processes, because it describes how modeling is carried out by students. On the other hand, it also functions as a normative model, because it makes prescriptions on how one should behave, when solving problems mathematically. However, there do not exist any empirical studies to prove neither the descriptive nor the normative character of the modeling cycle. This thesis shows, that the suitability as a descriptive model can only be affirmed with restrictions. Validation could not be observed in any of the subjects taking part in the first study and the sequence of the remaining four processes also diverged from the theoretically postulated order. A revised version of the modeling cycle as a recursive model is therefore proposed. In the second study, the suitability as a normative model was explored, by separately assessing the four processes Structuring, Mathematising, Solving and Interpretation with newly designed items. The four scales were validated with several criteria, one of them the ability to solve modeling tasks, which confirms the normative function of the modeling cycle. In order to help promote modeling competency in young learners, it is necessary to find ways for diagnosing modeling competency as early as at the end of primary school. By generating items for the four sub-competencies Structuring, Mathematising, Solving and Interpretation a basis has been founded to do this in an objective, reliabel and valid way.

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Metadaten
Author:Julia Riebel
URN:urn:nbn:de:hbz:lan1-5030
Title Additional (English):Modeling competencies in mathematical problem solving
Advisor:Reinhold S. Jäger, Gabriele E. Dlugosch
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2010/02/17
Date of publication:2010/02/17
Publishing institution:Universität Koblenz-Landau, Campus Landau, Universitätsbibliothek
Granting institution:Universität Koblenz-Landau, Campus Landau, Fachbereich 8
Date of final exam:2010/02/05
Release Date:2010/02/17
Tag:Kompetenzdiagnostik; Modellierungskompetenz; mathematische Kompetenz; mathematisches Modellieren
assessment; mathematical modeling; modeling competency
GND Keyword:Diagnostik; Kompetenz; Modellieren
Number of pages:244
Institutes:Fachbereich 8 / Arbeitsbereich Diagnostik, Differentielle und Persönlichkeitspsychologie, Methodik und Evaluation
Dewey Decimal Classification:1 Philosophie und Psychologie / 15 Psychologie / 150 Psychologie
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