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Keywords
- Axiomatische Geometrie (1)
- Euklidische Geometrie (1)
- Geometriedidaktik (1)
- Primzahl (1)
- Primzahlen (1)
- Wagenschein (1)
- Zifferndarstellung (1)
Gegeben sei eine Basis b>=10 und eine Ziffer a0 aus der Menge {0,..., b − 1}. Wir untersuchen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die in ihrer b-adischen Zifferndarstellung die Ziffer a0 nicht besitzen. Ferner schätzen wir die Anzahl dieser Primzahlen, die kleiner sind als X = b^k, nach oben und unten ab.
Damit gelingt uns eine Verallgemeinerung von Maynards Beweis für den Fall b = 10 und wir nutzen hierzu auch die in seiner Arbeit verwendeten Werkzeuge. Unter Anderem benötigen wir die Hardy-Littlewoodsche Kreismethode sowie diverse Siebmethoden, um die Minor Arcs zu kontrollieren.
Schließlich sehen wir, dass wir Maynard's Aussage vor allem dann auf beliebige Basen b>= 10 und ausgeschlossene Ziffern a0 aus {0, ..., b − 1} übertragen können, wenn zwei betragsmäßig größte Eigenwerte von Matrizen, die von b und a0 parametrisiert werden, bestimmte Abschätzungen erfüllen. Dass diese Abschätzungen im Fall b>=102 erfüllt sind, beweisen wir im letzten Kapitel. Für die Fälle b = 10 und b = 11 liegt ebenfalls ein Mathematica-Code vor, der die Abschätzungen bestätigt.
Fachdidaktische und pädagogische Kompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte für die Realschule
(2019)
Studien zur Wirksamkeit der Ausbildung von Lehrerinnen und Lehrern sind in der Regel fragebogenbasiert. In der vorliegenden Untersuchung wird ein anderer Ansatz gewählt, um die Kompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte zu erheben und zu evaluieren. Die Studie untersucht anhand der unterrichtlichen Performanz, welche Kompetenzen Anwärterinnen und Anwärter in ihrer praktischen Ausbildung erworben haben. Der Analyse liegen 137 anonymisierte Niederschriften zu benote-ten Lehrproben von Anwärterinnen und Anwärtern im Fach Mathematik zugrunde. Diese bilden die Ausbildungsjahrgänge von 2004 bis 2011 ab. Die Anwärterinnen und Anwärter werden unterrichtspraktisch anhand der Niederschriften in Anlehnung an eine qualitative Inhaltsanalyse auf ihre Kompetenzausprägungen hin getestet. Dies erfolgt schwerpunktmäßig in den Bereichen Fachdidaktik, Fachmethodik, Classroom-Management und Gesprächsführung. Im Verlauf der Untersuchung wird deutlich, dass die Teilneh-mergruppe vor allem Stärken im methodischen Bereich hat. Hier können durchgehend gute Kompetenzausprägungen festgestellt werden. Über den gesamten Erhebungszeitraum zeigen sich hingegen in den Bereichen Classroom-Management und Gesprächsführung deutliche Defizite. Die fachdidaktischen Kompetenzen der angehenden Lehrkräfte entwickeln sich negativ: Ist zu Beginn der Erhebung noch etwa die Hälfte der Anwärterinnen und Anwärter im Bereich der Fachdidaktik zufriedenstellend einzustufen, gilt das im letzten Erhebungsjahrgang nur noch für knapp ein Fünftel der Probandinnen und Probanden. Es kann gezeigt werden, dass eine gute Notenfestsetzung eng mit den er-forderlichen Kompetenzen in der Fachdidaktik zusammenhängt.
Die vorliegende Studie bestätigt im Bereich der Fachdidaktik die Ergebnisse jener Studien, die auf Fragebögen basieren.
Es konnte zudem ein statistischer Zusammenhang zwischen den fachdidaktischen Fähigkeiten und den Steuerungskompetenzen hergestellt werden.
Die Geometrie unseres Anschauungsraumes – die euklidische Geometrie – ist für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht elementar. Seitens der Mathematiklehrkraft stellt grundsätzlich ihr Fachwissen das Fundament des Unterrichtens dar. Als Teil ihres Professionswissens sollten Mathematiklehrkräfte prinzipiell über ein Fachwissen verfügen, das in Bezug zur akademischen Mathematik den unterrichtlichen Anforderungen der schulischen Mathematik gerecht wird.
Die im Rahmen der Dissertation entwickelte Theorie des metrisch-normalen euklidischen Raumes charakterisiert sich in ihrer perspektivischen Dualität, der mathematischen Stringenz eines axiomatisch-deduktiven Vorgehens auf der einen und der Berücksichtigung der fachdidaktischen Anforderungen an Mathematiklehrkräfte auf der anderen Seite; sie hebt sich darin von bestehenden Theorien ab.
