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The formulation of the decoding problem for linear block codes as an integer program (IP) with a rather tight linear programming (LP) relaxation has made a central part of channel coding accessible for the theory and methods of mathematical optimization, especially integer programming, polyhedral combinatorics and also algorithmic graph theory, since the important class of turbo codes exhibits an inherent graphical structure. We present several novel models, algorithms and theoretical results for error-correction decoding based on mathematical optimization. Our contribution includes a partly combinatorial LP decoder for turbo codes, a fast branch-and-cut algorithm for maximum-likelihood (ML) decoding of arbitrary binary linear codes, a theoretical analysis of the LP decoder's performance for 3-dimensional turbo codes, compact IP models for various heuristic algorithms as well as ML decoding in combination with higher-order modulation, and, finally, first steps towards an implementation of the LP decoder in specialized hardware. The scientific contributions are presented in the form of seven revised reprints of papers that appeared in peer-reviewed international journals or conference proceedings. They are accompanied by an extensive introductory part that reviews the basics of mathematical optimization, coding theory, and the previous results on LP decoding that we rely on afterwards.
Scientific and public interest in epidemiology and mathematical modelling of disease spread has increased significantly due to the current COVID-19 pandemic. Political action is influenced by forecasts and evaluations of such models and the whole society is affected by the corresponding countermeasures for containment. But how are these models structured?
Which methods can be used to apply them to the respective regions, based on real data sets? These questions are certainly not new. Mathematical modelling in epidemiology using differential equations has been researched for quite some time now and can be carried out mainly by means of numerical computer simulations. These models are constantly being refinded and adapted to corresponding diseases. However, it should be noted that the more complex a model is, the more unknown parameters are included. A meaningful data adaptation thus becomes very diffcult. The goal of this thesis is to design applicable models using the examples of COVID-19 and dengue, to adapt them adequately to real data sets and thus to perform numerical simulations. For this purpose, first the mathematical foundations are presented and a theoretical outline of ordinary differential equations and optimization is provided. The parameter estimations shall be performed by means of adjoint functions. This procedure represents a combination of static and dynamical optimization. The objective function corresponds to a least squares method with L2 norm which depends on the searched parameters. This objective function is coupled to constraints in the form of ordinary differential equations and numerically minimized, using Pontryagin's maximum (minimum) principle and optimal control theory. In the case of dengue, due to the transmission path via mosquitoes, a model reduction of an SIRUV model to an SIR model with time-dependent transmission rate is performed by means of time-scale separation. The SIRUV model includes uninfected (U) and infected (V ) mosquito compartments in addition to the susceptible (S), infected (I) and recovered (R) human compartments, known from the SIR model. The unknwon parameters of the reduced SIR model are estimated using data sets from Colombo (Sri Lanka) and Jakarta (Indonesia). Based on this parameter estimation the predictive power of the model is checked and evaluated. In the case of Jakarta, the model is additionally provided with a mobility component between the individual city districts, based on commuter data. The transmission rates of the SIR models are also dependent on meteorological data as correlations between these and dengue outbreaks have been demonstrated in previous data analyses. For the modelling of COVID-19 we use several SEIRD models which in comparison to the SIR model also take into account the latency period and the number of deaths via exposed (E) and deaths (D) compartments. Based on these models a parameter estimation with adjoint functions is performed for the location Germany. This is possible because since the beginning of the pandemic, the cumulative number of infected persons and deaths
are published daily by Johns Hopkins University and the Robert-Koch-Institute. Here, a SEIRD model with a time delay regarding the deaths proves to be particularly suitable. In the next step, this model is used to compare the parameter estimation via adjoint functions with a Metropolis algorithm. Analytical effort, accuracy and calculation speed are taken into account. In all data fittings, one parameter each is determined to assess the estimated number of unreported cases.
Die Wirbelsäule als tragende Säule des menschlichen Körpers ist bei vielen Bewegungsabläufen hohen Belastungen ausgesetzt. Fehl- und Überbelastungen rufen dabei oft dauerhafte Schädigungen hervor. Daher ist es von Interesse, die innerhalb der Wirbelsäule auftretenden Belastungen zu bestimmen. Eine moderne und zuverlässige Methode zur Belastungsbestimmung ist der Aufbau eines Berechnungsmodells.
In der vorliegenden Arbeit wurde ein Mehr-Körper-System (MKS) Modell der Lendenwirbelsäule erstellt. Mit Hilfe des Modells können sowohl die übertragenen Kräfte und Momente in allen inneren Strukturen berechnet als auch die Kinematik des Bewegungsablaufs simuliert werden. Die Grundstruktur des Modells bilden die als Starrkörper angenommenen knöchernen Strukturen der fünf Lendenwirbel L1 bis L5, des Os Sacrums und des Os iliums, die über die Segmentierung eines CT-Datensatzes des Abgusses der Wirbeloberflächen eines durchschnittlich großen Europäers gewonnen wurden. Die elastischen Elemente der Wirbelsäule wurden unter Berücksichtigung ihrer physikalischen Eigenschaften in das Modell implementiert. Grundlage für die Modellierung der Zwischenwirbelscheiben waren dabei eigens durchgeführte experimentelle Messungen. Das charakteristische Kraft-Deformations-Verhalten der Ligamente wurde der Literatur entnommen.
Die Umsetzung im Computermodell berücksichtigt neben dem physikalischen Verhalten eines einzelnen Ligamentes zusätzlich durch einen Gewichtungsfaktor das Zusammenspiel aller Ligamente im komplex aufgebauten Ligamentapparat. Die Facettengelenke wurden durch Kontaktmodellierung in den Knorpelschichten realisiert. Daneben wurde ein Modell eines Implantatsystems entwickelt, das zur dynamischen Stabilisierung der Lendenwirbelsäule genutzt wird. Die Validierung der erstellten Modelle erfolgte über den Vergleich mit In-Vitro erhobenen Daten. Betrachtet wurden neben der intakten Wirbelsäule zudem degenerative Schädigungen der Zwischenwirbelscheibe und deren operative Versorgung durch Nukleotomie und dynamische Stabilisierung. Die Ergebnisse der Simulationen zeigen dabei eine sehr gute Näherung an die experimentell ermittelten Messwerte. Durch Anwendung der Computermodelle konnten die Auswirkungen verschiedener operativer Eingriffe, wie Interlaminotomie, Hemilaminektomie und Laminektomie auf die unterschiedlichen Strukturen der Lendenwirbelsäule berechnet werden. Ein weiteres Anwendungsgebiet lag in der Untersuchung des momentanen Drehzentrums. Neben der Bestimmung der Drehpunktbahn bei intakter Wirbelsäule konnten die Effekte einer degenerativ geschädigten und operativ versorgten Zwischenwirbelscheibe auf den Verlauf des momentanen Drehzentrums berechnet und simuliert werden.